Zwierciadło jest przyrządem optycznym, dzięki któremu, podobnie jak w przypadku soczewek, możemy uzyskiwać obraz danego przedmiotu, z tą różnicą, że soczewki wykorzystywały zjawisko załamania, natomiast zwierciadła wykorzystują zjawisko odbicia światła.

Zwierciadło płaskie

Zwierciadło płaskie, czyli zwyczajne lustro, również jest zdolne tworzyć obraz.  Powstający obraz zlokalizowany jest tam, gdzie go widzimy, czyli za lustrem.

Aby wykonać konstrukcję obrazu powstałego przy użyciu zwierciadła płaskiego, należy wykorzystać dwa promienie świetlne. Mogą to być dowolne dwa promienie świetlne wychodzące z danego punktu przedmiotu padające na zwierciadło i odbijające się od niego pod kątem równym kątowi odbicia (zgodnie z prawem odbicia). Ich przedłużenia przetną się w punkcie będącym położeniem obrazu danego punktu. Na Rys. 1. przedstawiono konstrukcję obrazu pewnego punktu z użyciem zwierciadła płaskiego (przedmiot to punkt A, jego obraz to punkt A’). Jednym z wykorzystanych promieni świetlnych był promień prostopadły do zwierciadła.

Rys. 1.

Obraz powstały w przypadku zwierciadła płaskiego jest zawsze pozorny (leży na przecięciu przedłużeń rzeczywiście biegnących promieni świetlnych), prosty (nie odwrócony) i o tej samej wielkości co przedmiot.

Zwierciadła sferyczne wklęsłe

Innym typem zwierciadeł są zwierciadła sferyczne. Jak sama nazwa wskazuje ich powierzchnię stanowi część sfery. Jeśli mówimy o zwierciadle wklęsłym, to część odbijającą stanowi wewnętrzna część sfery.

Zwierciadła sferyczne, podobnie jak soczewki, posiadają oś optyczną – jest to prosta prostopadła do powierzchni zwierciadła będąca jednocześnie jego osią symetrii. Każde zwierciadło charakteryzuje również promień jego krzywizny, czyli odległość od środka krzywizny zwierciadła (środka sfery, której fragmentem jest dane zwierciadło) do powierzchni tego zwierciadła.

Każdy promień świetlny padający na powierzchnię zwierciadła jest od niego odbijany zgodnie z prawem odbicia, czyli kąta padania równy jest kątowi odbicia. Należy przy tym pamiętać, że kąty padania i odbicia mierzy się względem normalnej, która jest prostopadła do powierzchni stycznej. Normalną prowadzi się wzdłuż promienia sfery.

Przeanalizujmy teraz bieg promienia świetlnego równoległego do osi optycznej zwierciadła wychodzącego z punktu A. Przedstawiono go na Rys. 2. Punkt O jest środkiem krzywizny zwierciadła.

Rys. 2.

Z prawa odbicia wynika następująca zależność:

Ponieważ odcinki  jest równoległy do osi optycznej, to ponadto prawdą jest:

A zatem trójkąt  jest równoramienny, wobec czego jego wysokość  dzieli jego podstawę  na dwie równe części. Ponieważ ponadto cała podstawa równa jest promieniowi zwierciadła , to:

Dla małych kątów , czyli wtedy gdy promień świetlny przed odbiciem biegł blisko osi optycznej zwierciadła, można przyjąć, że .

Stąd wnioskujemy, że w dobrym przybliżeniu:

Możemy zatem wysnuć wniosek, że promienie biegnące blisko osi optycznej zwierciadła wklęsłego równolegle do tej osi są skupiane po odbiciu w jednym punkcie, leżącym w połowie odległości między środkiem krzywizny a zwierciadłem. Punktem tym jest ognisko zwierciadła, oznaczamy je symbolem . Odległość między ogniskiem a zwierciadłem to ogniskowa zwierciadła, oznaczamy ją symbolem . Możemy zatem zapisać, że w przypadku zwierciadła wklęsłego:

Ponieważ w przypadku zwierciadła wklęsłego w jego ognisku  skupiają się rzeczywiście biegnące promienie świetlne, to jest to ognisko rzeczywiste. Zwierciadła, w przeciwieństwie do soczewek mają tylko jedno ognisko.

Warto także nadmienić, że w promienie świetlne równoległe do osi optycznej, które biegną od niej stosunkowo daleko, po odbiciu od zwierciadła nie będą przebiegały dokładnie przez jego ognisko.

Zwierciadła paraboliczne

Okazuje się, że możliwe jest zbudowanie zwierciadła, w przypadku którego dowolny promień biegnący równolegle do jego osi optycznej po odbiciu przejdzie przez jego ognisko. W tym celu zamiast zwierciadła sferycznego należy użyć zwierciadła parabolicznego – jego powierzchnię stanowi tzw. paraboloida, czyli powierzchnia utworzona poprzez obrót paraboli wokół jej osi symetrii. Jego wadą jest z kolei fakt, że aby uzyskać wspomniany efekt, promienie światła na nie padające muszą biec dokładnie wzdłuż jego osi optycznej, będącej jego osią symetrii. Tymczasem zwierciadło sferyczne potrafi skupiać cienką równoległą wiązkę światła biegnącą wzdłuż dowolnego promienia sfery, z której wycięto zwierciadło.

Konstrukcja obrazu rzeczywistego w zwierciadle wklęsłym

Aby znaleźć obraz danego punktu w przypadku zwierciadła wklęsłego, to również wystarczy użyć dwóch promieni świetlnych. Obraz rzeczywisty powstanie gdy odległość przedmiotu od zwierciadła  będzie większa niż ogniskowa zwierciadła . Na Rys. 3. zawarto trzy promienie wychodzące z jednego punktu (czubka strzałki) przedmiotu umieszczonego po lewej stronie zwierciadła wklęsłego, z których wybór dowolnych dwóch wystarcza do wyznaczenia położenia obrazu tego punktu. Analogiczne postępowanie można przeprowadzić dla dowolnych innych punktów przedmiotu, aby finalnie uzyskać obraz całego przedmiotu. Promienie świetlne, które najłatwiej wykorzystać w konstrukcji obrazu to:

- promień równoległy do osi optycznej, po odbiciu od zwierciadła przechodzi przez jego ognisko (nr 1)

- promień przechodzący przez ognisko, po odbiciu od zwierciadła jest równoległy do osi optycznej (nr 2)

- promień padający na środek zwierciadła, po odbiciu biegnie symetrycznie względem osi optycznej (nr 3)

Warto także nadmienić, że w teorii można użyć dowolnego promienia padającego na powierzchnię zwierciadła, korzystając z faktu, że dla każdego z nich kąt odbicia od zwierciadła będzie równy kątowi padania (zgodnie z prawem odbicia).

Rys. 3.

Równanie zwierciadła

Zależność pomiędzy ogniskową zwierciadła , odległością przemdiotu od zwierciadła  oraz odległością obrazu od zwierciadła  można opisać równaniem zwierciadła – jest ono identyczne jak równanie soczewki:

Cechy obrazu

W przypadku zwierciadła wklęsłego, gdy przedmiot umieszczony jest od niego w odległości większej niż wynosi jego ogniskowa, czyli , uzyskany obraz ma następujące trzy cechy:

• rzeczywisty (powstaje na przecięciu rzeczywiście biegnących promieni świetlnych odbitych od zwierciadła)
• odwrócony
• powiększony, pomniejszony lub takich samych rozmiarów jak przedmiot – gdy , to obraz jest powiększony, gdy , to obraz jest takich samych rozmiarów jak przedmiot, a gdy , to obraz jest pomniejszony

Zauważmy, że cechy obrazów uzyskiwanych przy użyciu zwierciadła wklęsłego oraz ich zależność od odległości przedmiotu od zwierciadła są analogiczne do tych dla soczewki skupiającej.

Powiększenie obrazu

Powiększenie  obrazu w przypadku zwierciadeł definiujemy identycznie jak dla soczewek, a zatem:

Tu również można je wyrazić poprzez odległości przedmiotu i obrazu od zwierciadła (równe kolejno  i ):

Obrazy pozorne tworzone przez zwierciadła wklęsłe

W sytuacji gdy przedmiot umieścimy w odległości od zwierciadła wklęsłego mniejszej niż jego ogniskowa, obraz rzeczywisty nie powstanie – rzeczywiście biegnące promienie świetlne wychodzące z danego punktu przedmiotu po odbiciu się od zwierciadła nigdzie się nie przetną. Przetną się natomiast przedłużenia tych promieni po drugiej stronie zwierciadła. Tam powstanie obraz pozorny danego punktu przedmiotu. Na Rys. 4. sporządzono konstrukcję obrazu przedmiotu uzyskanego z użyciem zwierciadła wklęsłego w sytuacji, gdy  (odległość przedmiotu od zwierciadła jest mniejsza niż ogniskowa zwierciadła) – przedmiotem jest strzałka znajdująca się po lewej stronie zwierciadła, obrazem jest strzałka po jego prawej stronie. Podobnie jak to miało miejsce poprzednio, tak i tu wystarczy wybrać dwa z trzech następujących promieni świetlnych, aby wykonać taką konstrukcję (trzeba je następnie przedłużyć, wówczas punkt ich przecięcia będzie miejscem położenia obrazu pozornego – na rysunku ich przedłużenia zaznaczono przerywaną linią):

- promień równoległy do osi optycznej, po odbiciu od zwierciadła przechodzi przez jego ognisko (nr 1)

- promień, którego przedłużenie wychodzi z ogniska, po odbiciu od zwierciadła jest równoległy do osi optycznej (nr 2)

- promień padający na środek zwierciadła, po odbiciu biegnie symetrycznie względem osi optycznej (nr 3)

Rys. 4.

Obraz pozorny powstały przy wykorzystaniu zwierciadła wklęsłego (czyli wtedy, gdy ) ma zawsze trzy następujące cechy: jest pozorny (powstaje na przecięciu przedłużeń rzeczywiście biegnących promieni świetlnych), prosty (nie jest odwrócony), powiększony.

Obrazy pozorne tworzone przez zwierciadła wypukłe

Zwierciadło wypukłe jest zwierciadłem sferycznym, którego powierzchnię odbijającą stanowi zewnętrzna część fragmentu sfery. Promienie świetlne biegnące równolegle do osi optycznej zwierciadła wypukłego odbijają się od niego w taki sposób, że nigdzie się nie przecinają – są rozbieżne. Jednakże, przedłużenia tych odbitych promieni świetlnych przecinają się w jednym punkcie znajdującym się po drugiej stronie zwierciadła – punktem tym jest ognisko pozorne zwierciadła, oznaczamy je standardowo symbolem . Odległość ogniska od zwierciadła to ogniskowa , w przypadku zwierciadła wypukłego przyjmuje ona wartość ujemną, ponieważ ognisko tego zwierciadła jest pozorne (analogia do ognisk i ogniskowej soczewki rozpraszającej).

W przypadku użycia zwierciadła wypukłego, uzyskany obraz przedmiotu jest zawsze pozorny, prosty i pomniejszony, niezależnie od odległości przedmiotu od zwierciadła.

Na Rys. 5. przedstawiono konstrukcję obrazu pewnego przedmiotu uzyskanego z użyciem zwierciadła wypukłego (przedmiotem jest strzałka po prawej stronie zwierciadła, obrazem strzałka po lewej). Tu ponownie konieczne jest wykorzystanie dwóch z trzech następujących promieni świetlnych wychodzących z danego punktu przedmiotu:

 - promień równoległy do osi optycznej, po odbiciu od zwierciadła jego przedłużenie przechodzi przez jego ognisko (nr 1)

- promień biegnący w stronę ogniska znajdującego się po drugiej stronie zwierciadła, po odbiciu od zwierciadła biegnie równolegle do osi optycznej (nr 2)

- promień padający na środek zwierciadła, po odbiciu biegnie symetrycznie względem osi optycznej (nr 3)

Ponieważ uzyskiwany obraz jest pozorny to powstaje on na przecięciu przedłużeń rzeczywiście biegnących promieni świetlnych.

Rys. 5.

Wnioski końcowe

Warto zauważyć, że rodzaj powstających obrazów i ich zależność od odległości  jest analogiczne w przypadku soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego oraz w przypadku soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego.

Przykład:

Na rysunku poniżej zaznaczono przedmiot AB oraz położenie jego obrazu CD, otrzymanego za pomocą zwierciadła wklęsłego. Wyznacz obliczeniowo położenie środka krzywizny zwierciadła, położenie środka zwierciadła oraz położenie jego ogniska, a następnie nanieś te elementy na rysunek w odpowiednich miejscach. Przyjmij, że oś optyczna zwierciadła jest prostopadła do przedmiotu.

Rozwiązanie:

Należy zauważyć, że obraz jest odwrócony – to oznacza, że obraz jest rzeczywisty, a odległość przedmiotu od soczewki musi być z przedziału . Ponadto możemy zauważyć, że stosunek wysokości obrazu i przedmiotu wynosi 2, stąd takie jest też powiększenie obrazu:

Stąd prawdziwa jest również następująca zależność:

Ponieważ obraz jest rzeczywisty, to po pierwsze  jest dodatni, więc , a po drugie oznacza to, że obraz oraz przedmiot znajdują się po tej samej stronie zwierciadła. Skoro zaś , to obraz znajduje się dwukrotnie dalej od zwierciadła niż przedmiot, czyli zwierciadło znajduje się w prawej części rysunku. Widzimy, że odległość między przedmiotem i obrazem to 5 kratek, a zatem odległość zwierciadła od przedmiotu to również 5 kratek.

Poprowadzenie odcinków BC i AD wyznaczy nam z kolei położenie środka krzywizny zwierciadła – przez ów środek przechodzi zatem również oś optyczna zwierciadła. Przedstawiono to jako krok pośredni na rysunku poniżej.

Środek zwierciadła znajduje się kolei 5 kratek na prawo od przedmiotu (zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami). Natomiast zgodnie z wprowadzonym wcześniej w tym rozdziale wzorem, ogniskowa to połowa promienia krzywizny zwierciadła:

Możemy zatem sporządzić już ostateczny rysunek:

Zadania do zrobienia:

1. Na płaskie zwierciadło pada pod pewnym kątem promień światła. Oblicz o jaki kąt zmieni się kierunek biegu promienia odbitego od zwierciadła, jeżeli zwierciadło obrócimy o kąt wokół osi prostopadłej do normalnej.

Odp.:

2. Oblicz w jakiej odległości od zwierciadła sferycznego wklęsłego o promieniu krzywizny  0,5 m należy umieścić włókno świecącej żarówki, aby na ścianie odległej o 4 m od zwierciadła otrzymać ostry powiększony obraz włókna.

Odp.: 26,7 cm

3. Oblicz promień krzywizny zwierciadła sferycznego wklęsłego wiedząc, że dla przedmiotu znajdującego się w odległości 15 cm od zwierciadła otrzymujemy obraz rzeczywisty dwukrotnie powiększony.

Odp.: 0,20 m

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-optyka-czastki-i-fale-de-brogliea