Postulaty kwantowe Bohra

Pamiętając o falowej naturze materii, możemy przyjąć, że fala materii związana z elektronem znajdującym się na pewnej orbicie w atomie wodoru (w którego centrum znajduje się jądro składające się z pojedynczego protonu) musi być falą stojącą, tak by nie interferowała sama ze sobą, a przez to nie wygaszała się. A zatem całkowita długość orbity, na której znajduje się elektron musi być całkowitą wielokrotnością związanej z nim długości fali materii (tak jak w przypadku fali stojącej na strunie długość struny musi być całkowitą wielokrotnością długości fali stojącej). Sytuację tę schematycznie przedstawiono na Rys. 1. (kolorem czarnym zobrazowano orbitę elektronu, a kolorem czerwonym związaną z nim stojącą falę materii).

Rys. 1.

 Możemy zatem zapisać, że:

Gdzie  to długośc fali materii związanej z elektronem,  to długość orbity, na której znajduje się elektron, a  to liczba naturalna ().

Całkowita długość orbity, na której znajduje się elektron wynosi , gdzie  to promień tej orbity. Powyższy warunek możemy zatem przedstawić następująco:

Z poprzedniego rozdziału wiemy, że długość fali materii możemy zapisać jako:

Gdzie  to stała Plancka,  to masa elektronu, a  i  to kolejno jego pęd oraz prędkość na rozważanej orbicie. Wstawiając to do wcześniejszej zależności otrzymujemy zatem:

Dokonując dalszych przekształceń otrzymujemy:

Zauważmy, że wyrażenie po lewej stronie to wartość momentu pędu  elektronu na rozważanej orbicie, możemy zatem zapisać, że:

Jest to jeden z postulatów Bohra dotyczący jego modelu atomu wodoru. Mówi on, że moment pędu elektronu na danej orbicie jest skwantowany, czyli, że może on przyjmować tylko pewne ściśle określone wartości (nie może przyjmować wartości pośrednich). Zauważmy, że w istocie tak jest, bowiem  jest liczbą naturalną przyjmującą tylko kolejne dodatnie całkowite wartości. Okazuje się, że liczba  jest jednocześnie numerem orbity, na której znajduje się elektron. Tym samym wymienione , ,  to kolejno prędkość, pęd i moment pędu elektronu na n-tej orbicie, a  to promień owej n-tej orbity.

Bohr jeszcze inne kwantowe postulaty dotyczące jego modelu atomu wodoru. Poniżej zestawiono je wszystkie:

1. Elektron może się znajdować tylko na jednej z dozwolonych orbit.

2. Na n-tej orbicie moment pędu elektronu równy jest: . Jest on skwantowany.

3. Elektron poruszając się po danej orbicie nie emituje ani nie pochłania energii. Elektron emituje foton, jeżeli spada z orbity wyższej na niższą, a pochłania foton, jeżeli przechodzi z orbity niższej na wyższą. Energia emitowanego lub pochłanianego fotonu jest równa różnicy między energią elektronu na wyższej i niższej orbicie (oznaczone jako odpowiednio  i ):

Promień dozwolonej orbity elektronu

Poza wymienionymi powyżej postulatami kwantowymi, model Bohra zakłada, że elektron utrzymywany jest na danej orbicie przez jego oddziaływanie elektryczne z jądrem (protonem). A zatem siłą elektrycznego przyciągania między protonem i elektronem pełni rolę siły dośrodkowej. Możemy zatem zapisać, że:

I stąd:

Gdzie  to stała elektryczna ( to przenikalność elektryczna próżni),

a  to ładunek elementarny (co do wartości równy ładunkowi elektronu i protonu). Podstawiając  otrzymujemy:

Wykorzystajmy teraz postulat Bohra mówiący o skwantowanym momencie pędu i wyznaczmy z niego prędkość elektronu:

Tak wyznaczoną prędkość elektronu na n-tej orbicie wstawmy do wcześniejszego równania. Otrzymamy wówczas:

Wyznaczając stąd  otrzymujemy wzór na wartość promienia n-tej orbity w modelu Bohra:

Wstawiając  otrzymamy wzór na promień pierwszej orbity, który jest stałą wartością i wynosi:

Aby obliczyć promień n-tej orbity wystarczy teraz przemnożyć promień pierwszej orbity przez , zatem:

Promień każdej kolejnej orbity jest coraz to większy, orbity numerujemy zatem zaczynając od tej najbliższej jądra. Schematycznie przedstawiono to na Rys. 2. Zauważmy, że promień orbity, podobnie jak moment pędu, a także prędkość i pęd elektronu jest skwantowany – może przyjmować on tylko ściśle określone wartości.

Rys. 2.

Energia elektronu

Kolejnym z założeń Bohra było to, iż całkowita energia elektronu na n-tej orbicie () jest równa sumie jego energii kinetycznej () oraz energii potencjalnej () jego oddziaływania elektrycznego z jądrem (protonem) na danej orbicie:

I tak, energię kinetyczną elektronu na n-tej orbicie zapiszemy jako:

Wiedząc ponadto z poprzednich rozważań, że:

Możemy wyznaczyć następujące wyrażenie:

Co po wstawieniu do wzoru na energię kinetyczną na n-tej orbicie daje:

Energię potencjalną elektronu na n-tej orbicie obliczymy ze wzoru na energię potencjalną w polu elektrycznym:

Po zsumowaniu otrzymujemy wzór na energię całkowitą elektronu:

Podstawiając do tego wyrażenia wzór na promień n-tej orbity otrzymamy ostateczną postać wzoru na energię elektronu na n-tej orbicie:

Wstawiając  otrzymamy wzór na energię elektronu na pierwszej orbicie, która jest stałą wartością równą:

Aby obliczyć energię elektronu na n-tej orbicie, trzeba zgodnie z uzyskanym wzorem podzielić energię na pierwszej orbicie przez , zatem:

Energia elektronu  jest najniższą z energii jakie może posiadać elektron w atomie wodoru wg Bohra. Mówimy, że atom znajduje się wówczas w stanie podstawowym. Na każdej kolejnej orbicie energia elektronu jest coraz większa, natomiast w każdym przypadku jest ona ujemna – oznacza to, że układ elektron-jądro jest układem związanym. Stan atomu, w którym elektron znajduje się na orbicie wyższej niż pierwsza, nazywamy stanem wzbudzonym. Aby całkowicie wyrwać elektron z atomu konieczne jest dostarczenie mu takiej ilości energii (nazywamy ją energią jonizacji), aby jego całkowita energia stała się dodatnia. W przypadku atomu w stanie podstawowym energia jonizacji wynosi zatem ok. .

Zauważmy, że energia elektronu również jest skwantowana – może przyjmować tylko pewne ściśle określone wartości.

Kolejne określone energie, które może przyjmować elektron w atomie wodoru nazywane są czasem poziomami energetycznymi. Poziomy te są przedstawione są na Rys. 3.

Rys. 3.

Widmo emisyjne ciągłe i liniowe

Widmo promieniowania emitowanego przez rozgrzane ciała (np. włókno żarówki) jest widmem ciągłym – oznacza to, że ciało to emituje promieniowanie elektromagnetyczne o różnych częstotliwościach (różnych długościach fali). Jeśli poddamy takie światło analizie, czyli np. rozszczepimy je z użyciem siatki dyfrakcyjnej lub pryzmatu, to zaobserwujemy ciągły obszar zawierający światło o różnych częstotliwościach – w zakresie widzialnym zobaczymy to jako ciągłe obszary o różnych płynnie zmieniających się barwach (ułożonych w kolejności takiej o jakiej mówiliśmy w rozdziale 14.1). jest to widmo ciągłe.

Widmo promieniowania emitowanego przez pogrzany rozrzedzony gaz jest z kolei widmem dyskretnym (liniowym) – składa się ono z pojedynczych linii. Z każdą z nich związane są fotony o ściśle określonej częstotliwości, a co za tym idzie ściśle określonej energii. Wartości te są ściśle związane z modelem atomu zaproponowanym przez Bohra. Jeden z jego postulatów mówi bowiem, że elektron przechodząc z orbity wyższej na niższą będzie emitował przy tym foton o ściśle określonej energii – równej różnicy pomiędzy energiami elektronu na tych orbitach. Jeśli zatem dostarczymy do np. próbki rozrzedzonego wodoru pewnej energii, np. podgrzewając go, to elektrony w atomach wodoru będą przemieszczały się na wyższe orbity (im wyższa orbita, tym wyższa energia). Każdy obiekt w naturze dąży jednakże samoczynnie do osiągnięcia stanu o najniższej możliwej energii, a zatem w tych wzbudzonych atomach wodoru elektrony będą samoczynnie przeskakiwać na niższe orbity, zmniejszając tym samym swoje energie i emitując przy tym fotony o ściśle określonych energiach. To właśnie te fotony zawierają się w widmie emisyjnym rozrzedzonych gazów, np. wspomnianego wodoru. Ponieważ mają one tylko pewne ściśle określone energie i nie przyjmują żadnych wartości pośrednich, to obserwowane widmo emisyjne jest widmem dyskretnym (liniowym). Oczywiście położenie tych linii widmowych (energie emitowanych fotonów) zależą od tego z jakim pierwiastkiem emitującym to promieniowanie mamy do czynienia.

Fotony emitowane w wyniku przejścia elektronu z jakiejś wyższej orbity na jedną konkretną orbitę grupują się w tzw. serie widmowe. I tak, seria Lymana odpowiada przejściom elektronu z orbit wyższych na orbitę nr 1, seria Balmera odpowiada przejściom elektronu z orbit wyższych na orbitę nr 2, seria Paschena odpowiada przejściom elektronu z orbit wyższych na orbitę nr 3, seria Bracketta odpowiada przejściom elektronu z orbit wyższych na orbitę nr 4, seria Pfunda odpowiada przejściom elektronu z orbit wyższych na orbitę nr 5, a seria Humphreysa odpowiada przejściom elektronu z orbit wyższych na orbitę nr 6. Różne serie widmowe zobrazowano schematycznie na Rys. 4.

Rys. 4.

Wzór Rydberga

Energie emitowanych fotonów w przypadku atomu wodoru możemy obliczyć wykorzystując jeden z postulatów kwantowych Bohra, mówiący o tym, że energia wyemitowanego kwantu promieniowania przy przejściu elektronu z orbity wyższej na niższą jest równa różnicy energii elektronu na tych orbitach (energia elektronu na wyższej i niższej orbicie to kolejno  i ):

Jeśli energię wyemitowanego fotonu wyrazimy teraz poprzez jego długość fali  oraz wykorzystamy ponadto zależność energii elektronu od numeru orbity, to otrzymamy:

Gdzie wykorzystano następujące oznaczenie:

Przekształcając powyższe wyrażenie dalej, otrzymujemy:

Wyrażenie  jest wielkością stałą i oznaczamy ją symbolem  – jest to tzw. stała Rydberga, jej wartość wynosi:

A zatem powyższy wzór ostatecznie przyjmuje następującą postać, nazywamy go wzorem Rydberga:

Pozwala on na obliczenie długości fali  (w próżni) fotonu wyemitowanego przy przejściu elektronu z orbity  na orbitę , oczywiście .

Widmo absorpcyjne

Jeśli przez pewną substancję, np. wodór w postaci gazowej, będziemy teraz przepuszczać światło białe (mieszaninę fal o różnych częstotliwościach), a następnie zbadamy widmo światła, które przeszło przez ów wodór, to otrzymamy tzw. widmo absorpcyjne wodoru. Jest to widmo ciągłe z obecnymi w nim ciemnymi liniami – związane są one z tym, że wodór z dużym prawdopodobieństwem będzie pochłaniał fotony o określonej częstotliwości. Będą to dokładnie te same częstotliwości, które były obecne w widmie emisyjnym wodoru. Jest dlatego, że atom wodoru, który jest np. w stanie podstawowym z dużym prawdopodobieństwem pochłonie foton o energii równej różnicy energii elektronu na orbicie nr 1 i którejś z wyższych orbit (np. nr 2) – wówczas energia ta zostanie przekazana elektronowi i nastąpi jego przejście ze wspomnianej niższej orbity na wyższą.

Przykład:

Oblicz prędkość elektronu na orbicie nr 3 w atomie wodoru. Oblicz częstotliwość i długość fali związanej z fotonem wyemitowanym przy przejściu elektronu z orbity nr 3 na orbitę nr 1. Przyjmij, że promień pierwszej orbity Bohra wynosi .

Rozwiązanie:

Wykorzystajmy postulat Bohra mówiący o skwantowanym momencie pędu elektronu na danej orbicie:

Wykorzystajmy ponadto zależność promienia n-tej orbity od numeru orbity:

Wstawiając to do wcześniejszego wzoru otrzymujemy:

Stąd wyznaczymy wzór na prędkość elektronu na n-tej orbicie:

Ponieważ mamy do czynienia z elektronem na orbicie nr 3, to , zatem:

Podstawiając dane otrzymujemy:

Aby obliczyć długość fali wyemitowanego fotonu możemy wykorzystać wzór Rydberga:

Obliczamy następnie częstotliwość wykorzystując jej związek z długością fali i prędkością światła w próżni:

Zadania do zrobienia:

1. Oblicz i podaj w jakim zakresie widma promieniowania elektromagnetycznego znajduje się długość fali, która odpowiada krótkofalowej granicy serii Balmera. Stała Rydberga to .

Odp.: ; nadfiolet

2. Podaj numer linii z serii Balmera, która związana jest z fotonem o długości 434,04 nm.

Odp.: 3. linia Balmera

3. Oblicz prędkość elektronu na 4 orbicie atomu wodoru. Pomiń efekty relatywistyczne.

Odp.:

4. Oblicz częstotliwość ruchu elektronu wokół jądra w atomie wodoru, gdy atom jest w stanie podstawowym.

Odp.:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-optyka-czastki-i-fale-de-brogliea