Rozpatrzmy przypadek, w którym dwóch różnych obserwatorów mierzy prędkość światła we własnych układach odniesienia, czyli w takich, względem których obserwatorzy Ci pozostają w spoczynku. Niech układ odniesienia pierwszego z obserwatorów porusza się z prędkością  względem układu odniesienia drugiego obserwatora. Z założeń mechaniki klasycznej wynika, że jeśli obserwator w pierwszym układzie zmierzy prędkość światła jako , to obserwator w drugim układzie powinien zmierzyć tę prędkość światła jako . Takie dodawanie prędkości wynika z tzw. zasady względności Galileusza, która głosi, że prawa fizyki w dwóch inercjalnych układach odniesienia są takie same, przy czym transformacja współrzędnych przestrzennych i czasu pomiędzy tymi dwoma układami była transformacją Galileusza (która zakłada np. że czas płynie tak samo we wszystkich inercjalnych układach odniesienia).

Z zasady tej wynikałoby zatem, że jeśli pierwszy z obserwatorów zmierzyłby prędkość światła jako , to drugi z nich zmierzyłby ją jako . Jeśli natomiast założymy, że prawa elektrodynamiki również są takie same w obu tych układach odniesienia, to dojdziemy do wniosku, że obaj obserwatorzy powinni byli zmierzyć prędkość światła (w próżni) jako taką samą wartość  równą:

Aby pozbyć się takich rozbieżności Einstein zaproponował szczególną teorię względności, w ramach której współrzędne przestrzenne oraz czas transformują się pomiędzy inercjalnymi układami odniesienia w zupełnie inny od dotychczas przyjmowanego sposobu.

Inercjalne układy odniesienia

Inercjalny układ odniesienia to taki układ odniesienia, w którym każde ciało, niepodlegające zewnętrznemu oddziaływaniu z innymi ciałami, porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym (bez przyspieszenia) lub pozostaje w spoczynku. Inercjalny układ odniesienia można również zdefiniować jako taki układ, w którym nie pojawiają się siły bezwładności (te występują w układach nieinercjalnych). Ponadto, wszystkie układy inercjalne poruszają się względem siebie ruchem jednostajnym prostoliniowym. Szczególna teoria względności Einsteina odnosi się jedynie do układów inercjalnych.

Pierwszy postulat Einsteina

Pierwszy postulat szczególnej teorii względności Einsteina mówi, że prawa fizyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

Drugi postulat Einsteina

Drugi postulat szczególnej teorii względności Einsteina mówi, że światło w próżni rozchodzi się z tą samą prędkością we wszystkich kierunkach w każdym inercjalnym układzie odniesienia.

Prawdziwość tego postulatu wykazało już wcześniejsze doświadczenie Michelsona-Morleya, które dowiodło ponadto, że światło jako fala elektromagnetyczna nie potrzebuje żadnego ośrodka, aby się rozchodzić – może zatem ono jak najbardziej rozchodzić się również w próżni.

Transformacja Lorentza

Ze wcześniejszych rozważań wiemy, że zastosowanie klasycznej transformacji Galileusza doprowadzi nas do sytuacji, w której powyższe postulaty Einsteina nie zostaną spełnione – pokażmy to analizując na początek transformację Galileusza. Przyjmijmy, że pewne zdarzenie opisane jest poprzez trzy współrzędne przestrzenne () oraz jedną współrzędną czasową  w pewnym inercjalnym układzie odniesienia  (może to być np. położenie pewnej cząstki w pewnym momencie czasu). Przyjmijmy teraz, że istnieje drugi układ inercjalny , który porusza się ze stałą prędkością o wartości  względem układu . Dla uproszczenia, niech prędkość  będzie zwrócona wzdłuż osi . W tym drugim układzie odniesienia  to samo zdarzenie opisywane jest przez odpowiadające temu układowi współrzędne przestrzenne () oraz jedną współrzędną czasową . Według klasycznej transformacji Galileusza zależność pomiędzy tymi współrzędnymi z obu układów będzie następująca:

Różniczkując równania współrzędnych po czasie otrzymamy transformację prędkości rozważanej cząstki opisywanej w obu układach (przyjmijmy, że prędkość cząstki w układzie  oznaczymy jako , natomiast prędkość tej cząstki w układzie  oznaczymy jako ):

Zgodnie z powyższymi wzorami, impuls światła posiadający prędkość  wzdłuż osi  w układzie odniesienia , posiadałby prędkość równą  w drugim układzie odniesienia , co stoi w sprzeczności z postulatami Einsteina.

Aby uniknąć tej sprzeczności konieczne było zaproponowanie innego sposobu transformacji współrzędnych przestrzennych i współrzędnej czasowej pomiędzy inercjalnymi układami odniesienia, tak by postulaty Einsteina były spełnione. Taką transformację nazywamy transformacją Lorentza, charakteryzuje się ona następującymi zależnościami pomiędzy współrzędnymi przestrzennymi i współrzędną czasową z obu układów (ponownie w przypadku gdy układ  porusza się zgodnie ze zwrotem osi  z prędkością  względem układu ):

Gdzie: , jest to tzw. czynnik Lorentza.

Warto zauważyć dwie istotne rzeczy – po pierwsze, współrzędne przestrzenne transformują się w inny sposób niż w przypadku transformacji Galileusza, pojawia się tu bowiem dodatkowy czynnik Lorentza zależny od prędkości światła w próżni oraz od prędkości jednego układu względem drugiego. Po drugie, czas przestaje być taki sam w obu układach, on również podlega teraz transformacji.

Jeśli teraz zróżniczkujemy współrzędne primowane po primowanym czasie , to otrzymamy prędkość cząstki w układzie , która wygląda następująco:

Na podstawie powyższych wzorów można łatwo pokazać, że jeśli rozpatrzymy np. foton, poruszający się w układzie  z prędkością  (czyli ), to prędkość tego fotonu w układzie  również będzie wynosić  (czyli ). Przeprowadźmy takie obliczenie (za  wstawiamy zatem  i liczymy ):

Transformacja Lorentza sprawia zatem, że postulaty szczególnej teorii względności Einsteina są spełnione.

Zadania do zrobienia:

1. Układ  porusza się względem układu  z prędkością o wartości  zgodnie ze zwrotem osi . Prędkość pewnej cząstki rejestrowana w układzie  wynosi  (prędkość ta ma zwrot zgodny ze zwrotem osi ). Oblicz  - składową x-ową prędkości tej cząstki obserwowaną w układzie .

Odp.: