Względność jednoczesności zdarzeń

Przedstawiona w poprzednim rozdziale transformacja Lorentza, którą stosujemy w szczególnej teorii względności Einsteina wyraźnie wskazała nam, że czas nie jest absolutny (tak było w klasycznej transformacji Galileusza). Wielkością absolutną, która nie zmienia się bez względu na to, w jakim inercjalnym układzie odniesienia ją mierzymy jest w szczególnej teorii względności za to prędkość światła. To prowadzi nas do wniosku, że czas upływa inaczej dla dwóch różnych obserwatorów z różnych układów odniesienia. Pociąga to za sobą fakt, iż względna jest równoczesność zdarzeń. Oznacza to, że pewne dwa zdarzenia, które są jednoczesne w jednym układzie odniesienia, w innym układzie odniesienia jednoczesne już być nie muszą.

Względność jednoczesności zdarzeń dobrze obrazuje eksperyment myślowy, zwany pociągiem Einsteina.

Załóżmy, że mamy do czynienia z dwoma inercjalnymi układami odniesienia: układ A to układ związany z wagonem pociągu poruszającego się z bardzo dużą prędkością w prawo, a B to układ odniesienia związany z Ziemią. Każdy z tych układów ma swój własny czas mierzony przez zsynchronizowane ze sobą zegary.

Dokładnie pośrodku wagonu znajduje się źródło światła, które w pewnym momencie wysyła dwa promienie świetlne w kierunku przeciwległych ścian wagonu (jeden promień biegnie w lewo, drugi w prawo).

Rozpatrzmy tę sytuację najpierw w układzie odniesienia A związanym z wagonem pociągu. Z racji tego, że źródło światła znajduje się dokładnie pośrodku wagonu, to światło ma do pokonania tę samą drogę do przeciwległych ścian. A zatem czasy przybycia obu promieni świetlnych do przeciwległych ścian wagonu wskazane przez zegar w wagonie będą dokładnie takie same. Sytuację tę zaprezentowano schematycznie na Rys. 1. (chwile , ,  to odpowiednio chwile, w których promienie zostały emitowane, następnie przebyły już pewną drogę i ostatecznie dotarły jednocześnie do przeciwległych ścian wagonu).

Rys. 1.

W układzie odniesienia B związanym z Ziemią porusza się także pociąg (w prawą stronę). Z drugiego postulatu Einsteina wiemy, że światło ma taką samą prędkość w obu kierunkach równą prędkości światła obserwowanej w układzie A i jest ona równa prędkości światła w próżni. Z uwagi natomiast na ruch samego wagonu w prawo, promień świetlny biegnący  w lewo ma do przebycia krótszą drogę niż promień świetlny biegnący w prawo. Z tego powodu promienie nie dotrą do przeciwległych ścian wagonu jednocześnie – zegar związany z Ziemią wskaże, że wcześniej zrobi to promień wysłany w lewą stronę. Sytuację tę przedstawiono schematycznie na Rys. 2.

Rys. 2.

Z analizy powyższego eksperymentu jasno wynika, że pewne dwa zdarzenia, które są jednoczesne w jednym układzie odniesienia, w drugim układzie odniesienia jednoczesne już być nie muszą.

Dylatacja czasu

Przeprowadzona powyżej analiza dotycząca względności jednoczesności dwóch zdarzeń prowadzi nas bezpośrednio do kolejnego wniosku: odcinki czasu pomiędzy dwoma konkretnymi zdarzeniami mają różne wartości w różnych układach odniesienia. I tak, załóżmy, że ponownie mamy do czynienia z układem odniesienia A związanym z poruszającym się z bardzo dużą prędkością wagonem pociągu oraz układem odniesienia B związanym z Ziemią. Tym razem wewnątrz pociągu znajduje się człowiek, który oddaje dwa strzały z broni. Zmierzony przez niego odstęp czasu pomiędzy wystrzałami to  – jest to tzw. czas własny – czas mierzony w układzie, w którym zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu (w tym przypadku takim układem jest układ A). Zmierzony przez obserwatora spoczywającego w układzie B odstęp czasu między wystrzałami będzie równy  – jest on różny od odstępu . Okazuje się, że czas własny zmierzony pomiędzy dwoma zdarzeniami jest zawsze krótszy niż czas zmierzony pomiędzy tymi samymi zdarzeniami zmierzony przez obserwatora z innego układu odniesienia. Co więcej, możemy w łatwy sposób zapisać zależność pomiędzy tymi czasami jako:

Gdzie:  (czynnik Lorentza, w którym  – prędkość światła w próżni,

 – prędkość z jaką jeden układ odniesienia porusza się względem drugiego układu). Zauważmy, że dla każdej prędkości  czynnik Lorentza przyjmuje wartość większą od 1, stąd wiemy, że .

Takie wydłużenie odcinka czasu związane z różnicą w pomiarze dokonywanym jednocześnie w dwóch różnych układach odniesienia nazywamy dylatacją czasu.

Skrócenie długości

Rozpatrując w dalszym ciągu przypadek wagonu poruszającego się względem Ziemi możemy stwierdzić, że zarówno obserwator z wagonu, jak i z Ziemi (z układów odniesienia A i B) zaobserwują tę samą prędkość względną obu układów. Wiemy już, że nie będzie między obserwatorami zgodności co do odstępu czasu pomiędzy dwoma określonymi zdarzeniami. A zatem skoro prędkość wagonu względem Ziemi dla obu obserwatorów jest taka sama i w obu przypadkach może ona zostać wyrażona jako iloraz przebytej drogi przez pewien odstęp czasu (np. właśnie określony jako czas pomiędzy wspomnianymi wcześniej dwoma wystrzałami), to musi wystąpić również rozbieżność pomiędzy odległościami mierzonymi przez obu obserwatorów.

I tak, długość własna  to odległość między dwoma punktami mierzona przez obserwatora, który znajduje się w spoczynku względem obu tych punktów – w opisywanym przez nas przypadku będzie to odległość pomiędzy dwoma punktami, w których znajdował się wagon w momentach gdy dochodziło do dwóch wystrzałów. Długość własna będzie zatem mierzona przez obserwatora w układzie B związanym z Ziemią.

Z kolei obserwator w układzie A związanym z wagonem również zmierzy odległość między punktami, w których znajdował się pociąg w momentach obu wystrzałów – niech będzie to odległość .

Zapiszmy teraz prędkość względną układów  obserwowaną przez obserwatora z układu A:

Analogicznie prędkość ta obserwowana przez obserwatora z układu B jest równa:

Ponieważ są one takie same, to możemy przyrównać do siebie ich prawe strony, otrzymując:

Pamiętając ponadto, że , otrzymujemy:

Co ostatecznie prowadzi nas do następującej zależności:

Możemy na tej podstawie stwierdzić, że długość  zmierzona przez obserwatora z układu, w którym oba punkty, pomiędzy którymi zmierzona została ta długość spoczywają, jest zawsze mniejsza niż długość własna . Zjawisko to nazywamy skróceniem długości (nazywane czasem skróceniem Lorentza).

Średni czas życia mionu

Eksperymentalnym potwierdzeniem istnienia dylatacji czasu oraz skrócenia długości jest rejestracja na powierzchni Ziemi dużej liczby mionów – nietrwałych cząstek będących produktem zderzeń cząstek promieniowania kosmicznego z jądrami atomów obecnych w górnych partiach atmosfery ziemskiej. Mianowicie, średni czas życia mionu wynosi ok. , gdy jest on mierzony przez obserwatora z układu związanego z mionem – jest to zatem jego czas własny . Okazuje się, że w tak krótkim czasie jedynie bardzo niewielka część mionów powinna być w stanie dotrzeć do powierzchni Ziemi, gdyby założyć absolutność czasu (klasyczne podejście z transformacji Galileusza). Jednakże, wiemy, że średni czas życia mionu obserwowany z Ziemi jest dłuższy niż jego czas własny i zależy on od prędkości mionu:  – im większa prędkość mionu, tym dłuższy jego czas życia rejestrowany z Ziemi (wiele z mionów porusza się z prędkościami bliskimi prędkości światła ). Dzięki tej dylatacji czasu, jesteśmy w rzeczywistości rejestrować na powierzchni Ziemi znacznie większą liczbę mionów niż przewidywałaby to mechanika klasyczna, w której czas jest wielkością niezmienniczą.

Zjawisko to można także wyjaśnić posługując się skróceniem długości. Mianowicie, droga jaką ma do przebycia mion lecący od górnych partii atmosfery na powierzchnię Ziemi, zmierzona w układzie związanym z mionem (jest to długość ) jest mniejsza niż długość własna , czyli odległość jaką ma do przebycia mion, zmierzona przez obserwatora z Ziemi. To dlatego mimo krótkiego średniego czasu życia, mion przy dostatecznie dużej prędkości jest w stanie dotrzeć do powierzchni Ziemi, ponieważ ma do przebycia mniejszą odległość, równą .