Klasycznie zdefiniowany pęd danego ciała jest iloczynem masy tego ciała oraz wektora jego prędkości (). Okazuje się, że w przypadku cząstek relatywistycznych, czyli takich, które poruszają się z bardzo dużymi prędkościami (będącymi nie do zaniedbania w porównaniu z prędkością światła w próżni ), pęd przyjmuje nieco inną postać. Wynika to z faktu, że zawarta w jego definicji prędkość stanowi teraz pochodną położenia danego ciała, ale liczoną po czasie własnym ( z poprzedniego rozdziału), mierzonym w układzie odniesienia związanym z rozpatrywanym ciałem, który jak wiemy ma inną wartość niż czas mierzony w innym układzie odniesienia. Stąd, wykorzystując transformację Lorentza otrzymamy wzór na pęd relatywistyczny  ciała o masie  poruszającego się z prędkością :

Gdzie  to czynnik Lorentza.

Wartość pędu relatywistycznego możemy zatem zapisać jako:

Podobnie jak to miało miejsce w fizyce klasycznej, tak i w przypadkach relatywistycznych występuje zasada zachowania pędu. Mówi ona, że całkowity pęd układu jest zachowany, jeżeli na układ nie działa żadna zewnętrzna siła wypadkowa.

Zwróćmy uwagę na fakt, że w przypadku, gdy mamy do czynienia z ciałem, którego prędkość jest dużo mniejsza od prędkości światła w próżni , czyli , to wzór na pęd tego ciała przechodzi w klasyczną jego postać:

Oznacza to zatem, że w przypadku ciał poruszających się ze stosunkowo niewielką prędkością względem prędkości światła, możemy stosować z bardzo dobrym przybliżeniem klasyczny wzór na pęd.

Gdy prędkość rozważanego ciała staje się niepomijalna w stosunku do prędkości światła, należy wykorzystywać wzór na pęd relatywistyczny. Zauważmy ponadto, że gdy prędkość ciała obdarzonego masą  zbliża się do prędkości światła , to jego pęd rośnie do nieskończoności, ponieważ:

Na Rys. 1. przedstawiono zależność pędu pewnego ciała od jego prędkości wyrażonej jako ułamek prędkości światła . Oś pionowa zapisana jest bez wartości liczbowych.

Rys. 1.

Przykład:

Oblicz pęd elektronu (jego masa to ), który porusza się z prędkością o wartości . Oblicz błąd względny, jaki popełniamy obliczając pęd takiego elektronu z wykorzystaniem klasycznego wzoru. Wynik wyraź w procentach.

Rozwiązanie:

Obliczamy wartość pędu relatywistycznego:

Teraz obliczmy pęd z klasycznego wzoru:

Obliczmy błąd względny:

Zadania do zrobienia:

1. Proton porusza się z prędkością . Oblicz stosunek pędu protonu obliczonego ze wzoru relatywistycznego do pędu tego protonu obliczonego w sposób klasyczny.

Odp.:

2. Pęd elektronu wynosi . Oblicz wartość prędkości z jaką porusza się ten proton. Oblicz jaką długość fali musiałby posiadać pewien foton poruszający się w próżni, aby mieć pęd o takiej samej wartości.

Odp.: ,  

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-czastki-i-fale-de-brogliea