Relatywistyczna energia kinetyczna

Podobnie jak miało to miejsce w przypadku relatywistycznego pędu, tak i relatywistyczna energia określana jest w taki sposób, aby możliwe było jej zachowanie we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Klasyczny sposób definiowania energii nie jest w stanie tego zagwarantować, toteż w ramach szczególnej teorii względności Einsteina, redefinicji musiała ulec również energia.

Zacznijmy od rozważań na temat relatywistycznej energii kinetycznej. Z perspektywy relatywistycznej wyrażenie opisujące energię kinetyczną możemy otrzymać z zależności między energią i pracą – wypadkowa praca siły  wykonana w danym układzie zamienia się w energię kinetyczną. Ponadto, dalej obowiązuje druga zasada dynamiki Newtona wyrażająca zależność między siłą a zmianą pędu danego ciała (), przy czym należy pamiętać, że pęd wyrażamy w tej sytuacji w sposób relatywistyczny. Obliczając pracę takiej siły (co formalnie odbywa się poprzez obliczenie odpowiedniej całki) otrzymujemy wyrażenie na energię kinetyczną:

Gdzie  to czynnik Lorentza,  to masa ciała, dla którego liczyliśmy energię kinetyczną,

 to prędkość tego ciała, a  to prędkość światła w próżni.

Można pokazać, że dla niewielkich prędkości ciała , powyższy wzór przechodzi w postać klasyczną, czyli , a zatem jeśli ciało porusza się z niewielką prędkością, to z dobrym przybliżeniem jego energię kinetyczną możemy zapisać w sposób klasyczny.

Zwróćmy również uwagę na fakt, że jeśli prędkość rozpatrywanego ciała będzie dążyć do  (), to czynnik Lorentza będzie dążyć do nieskończoności (), a to oznacza, że także energia kinetyczna tego ciała będzie dążyć do nieskończoności. To z kolei sprawia, że aby przyspieszyć jakieś ciało do prędkości światła  należałoby wykonać nieskończoną pracę. Wynika stąd wniosek, że żadne ciało o niezerowej masie nie może osiągnąć prędkości światła .

Na Rys. 1. przedstawiono wykres zależności relatywistycznej energii kinetycznej danego ciała od jego prędkości (na osi pionowej nie zawarto wartości liczbowych).

Rys. 1.

Energia spoczynkowa

Na początku XX wieku Einstein udowodnił, że jeśli energia cząstki zmieni się o , to jej masa zmieni się o . Następnie, potwierdzono wielokrotnie, że pozostająca w spoczynku cząstka o masie  posiada energię równą . Prowadzi to nas do wniosku, że z uwagi na sam fakt posiadania masy, ciała posiadają pewną energię, a to oznacza, że masa i energia są niejako sobie równoważne. Taką energię ciała związaną z tym, że posiada ono masę, nazywamy energią spoczynkową i oznaczamy najczęściej symbolem . Jest ona równa:

Z zależności tej wynika fakt, że ciało, w którym magazynowana jest energia zwiększa swoją masę. Co więcej, część masy danego ciała może zostać przekształcona na energię i uwolniona. Taki proces jest fundamentalnym zjawiskiem pozwalającym na chociażby pozyskiwanie energii z rozpadów jąder atomowych w reaktorze jądrowym.

Całkowita energia relatywistyczna

Wiemy już, że ciało posiada pewną energię związaną z samym faktem posiadania masy (energia spoczynkowa) oraz energię związaną z jego ruchem (energia kinetyczna). Jeśli dodamy to siebie te dwie energie, to otrzymamy całkowitą energię (relatywistyczną) danego ciała :

Na podstawie powyższych analiz i obserwacji stwierdzamy, że w ogólności zasada zachowania masy nie jest prawdziwa – część masy może zostać zamieniona w energię i na odwrót. Zasadą, która jest spełniona na fundamentalnym poziomie jest natomiast zasada zachowania energii całkowitej (uwzględnia ona bowiem możliwość zamiany masy w energię i na odwrót, czyli równoważność masy i energii).

Relatywistyczne związek energii i pędu

Znając już wzory na całkowitą energię relatywistyczną  danej cząstki o masie , jej energię spoczynkową ( oraz jej relatywistyczny pęd , możemy zapisać zależność jaka zachodzi pomiędzy tymi wielkościami:

Z powyższego wzoru możemy wyciągnąć pewne interesujące wnioski. Po pierwsze, gdy cząstka spoczywa, to jej pęd jest zerowy, a zatem energia całkowita cząstki to  – jest to zatem jej energia spoczynkowa, co stoi w zgodzie z wprowadzonymi wcześniej wzorami. Jeśli natomiast cząstka porusza się z bardzo dużą prędkością (bardzo bliską ), to człon związany z jej masą staje się zaniedbywalnie mały w porównaniu do członu związanego z pędem, wobec czego z bardzo dobrym przybliżeniem energię całkowitą takiego ciała możemy zapisać wówczas jako . Z rozważań dotyczących fotonów wiemy zresztą, że właśnie dla fotonów, które są cząstkami całkowicie relatywistycznymi (poruszają się z prędkością równą , ich masa jest zerowa), spełniona jest właśnie taka zależność między ich energią i pędem – wynika to zresztą wprost z zapisanego powyżej wzoru, jeśli bowiem za masę cząstki podstawimy 0, to otrzymamy w istocie .

Przykład 1:

Oblicz energię spoczynkową, energię kinetyczną i energię całkowitą elektronu o masie , który porusza się z prędkością o wartości .

Rozwiązanie:

Obliczmy najpierw energię spoczynkową elektronu:

Obliczmy następnie energię całkowitą elektronu:

Następnie obliczmy energię kinetyczną elektronu:

Przykład 2:

Oblicz stosunek  dla elektronu rozpędzonego w polu elektrycznym o różnicy potencjałów równej .

Rozwiązanie:

Energia kinetyczna jaką uzyska elektron podczas takiego rozpędzania to , gdzie  to ładunek elementarny (ładunek elektronu). Energię tę musimy zapisać w postaci relatywistycznej, a zatem jednocześnie:

Stąd dochodzimy do następującego równania:

Przekształcamy powyższe równanie:

Stąd otrzymujemy:

Przykład  3:

Oblicz pęd elektronu (jego masa to ), którego całkowita energia relatywistyczna jest pięciokrotnie większa od jego energii spoczynkowej.

Rozwiązanie:

Wykorzystamy relatywistyczny związek energii i pędu:

Przekształcamy to równanie w taki sposób, aby otrzymać z niego pęd:

Wstawiamy do otrzymanego równania zależność podaną w treści, czyli :

Zadania do zrobienia:

1. Oblicz wartość prędkości z jaką porusza się pewna cząstka, jeśli jej energia spoczynkowa jest 5 razy mniejsza od jej energii całkowitej. Wynik wyraź poprzez prędkość światła \ i podaj z dokładnością do czterech cyfr znaczących.

Odp.:

2. Oblicz prędkość elektronu, który podczas rozpędzania uzyskał energię kinetyczną równą .

Odp.:

3. Oblicz stosunek  dla elektronu rozpędzonego napięciem .

Odp.:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-czastki-i-fale-de-brogliea