Procenty

• 1 procent (1%) pewnej wielkości to 1/100 tej wielkości
•  p% liczby a to (p/100) * a 

Przykład 1. 

a) 

b)  

Przykład 2.

W pewnej szkole jest 320 uczniów. 240 uczy się jako drugiego języka obcego języka niemieckiego, 60 hiszpańskiego, a 20 francuskiego. Każdy uczeń uczy się tylko jednego z tych języków.

a) Jaki procent wszystkich uczniów uczy się niemieckiego ?

b)  O ile procent więcej uczniów uczy się języka hiszpańskiego niż francuskiego ?

c) O ile procent mniej uczniów uczy się języka francuskiego niż hiszpańskiego ? 

Rozwiązanie:

a) Dzielimy liczbę uczniów uczących się niemieckiego przez liczbę wszystkich uczniów i wynik mnożymy przez 100 %:

Uczniowie uczący się niemieckiego stanowią 75 % uczniów tej szkoły.

b) Obliczamy najpierw o ile więcej uczniów uczy się hiszpańskiego niż francuskiego:  60 - 20 = 40

Różnicę dzielimy przez liczbę uczniów uczących się francuskiego i wynik mnożymy przez 100%.

Hiszpańskiego uczy się o 200% więcej uczniów niż francuskiego.

c) Obliczamy najpierw o ile mniej uczniów uczy się francuskiego niż hiszpańskiego: 60 - 20 = 40

Różnicę dzielimy przez liczbę uczniów uczących się hiszpańskiego i wynik mnożymy przez 100 %.

Francuskiego uczy się o 66 2/3% mniej uczniów niż hiszpańskiego.

Przykład 3.

Cenę roweru podwyższono najpierw o 30 %, a następnie obniżono o 20 %. Jak zmieniła się cena roweru w stosunku do początkowej ceny ?

Oznaczmy przez x początkową cenę roweru. Obliczymy najpierw cenę roweru po podwyżce:

Obliczymy teraz cenę roweru po obniżce ceny:

Cena końcowa jest o 4% wyższa niż cena początkowa roweru.

Przykład 4.

Cena pewnego produktu z uwzględnionym 7% podatkiem to 642 zł. Ile wynosiłaby cena tego produktu, gdyby podatek wynosił 23 %.

Oznaczmy przez x cenę produktu bez podatku. Wówczas cena produktu z 7% podatkiem to . Mamy 1,07x = 642 zł. Stąd x = 600 zł.

Obliczmy teraz ile wynosiłaby cena produktu z 23% podatkiem. 

Zatem cena towaru z 23% podatkiem wynosi 738 zł.

Przykład 5.

W pewnym banku dostępne są dwa rodzaje lokat:

• lokata A – oprocentowana 6% w skali roku. Odsetki z tej lokaty są dopisywane do stanu konta po roku
• lokata B – oprocentowana 5% w skali roku z kapitalizacją odsetek co kwartał.

Która oferta jest korzystniejsza, jeśli chcemy założyć lokatę na rok ? 

Rozwiązanie:

Oznaczmy przez x kwotę, którą wpłacamy na lokatę. Rozważmy najpierw lokatę A:

Bank dopisuje po roku 6% odsetek, zatem po roku oszczędzania na koncie będziemy mieli 1,06x.

Rozważmy teraz lokatę B:

Po oprocentowanie w skali roku to 5% z kapitalizacją co kwartał, zatem po każdym kwartale do konta dopisywane będzie 5% * 1/4 = 1,25% odsetek.

Zatem przy zakładaniu lokaty na rok bardziej opłaca się skorzystać z lokaty A.

Zadania 

1. Oblicz: 

a)  12,5% liczby 160

b)  125% liczby 0,64

2. Wyznacz liczbę, której:

a) 325 % jest równe 6,5

b) 0,2 % jest równe 10

3. Liczba a stanowi 20 % liczby b. 

a) O ile procent liczba a jest mniejsza od liczby b?

b) O ile procent liczba b jest większa od liczby a?

4. Sprzedaż pewnego produktu jest objęta 8-procentowym podatkiem VAT. O ile procent więcej kosztowałby ten produkt, gdyby podatek VAT wynosił 23 %.

5. W ciągu roku pan Tomasz otrzymał podwyżkę dwa razy: najpierw o 20 % a później o 5 %. Oblicz ile zarabiał pan Tomasz przed podwyżkami, jeżeli po obu podwyżkach zarabia:

a) 4032 zł

b) x zł.

Odpowiedzi:

1a) 20

1b) 0,8

2a) 2

2b) 5000

4) o około 13,9%

5a) 3200 zł

5b) 

Punkty procentowe

Punktami procentowymi posługujemy się, jeśli chcemy przedstawić zmianę wielkości wyrażonej w procentach, np. zmianę poparcia dla partii politycznych, zmianę oprocentowania lokat i kredytów, wzrost lub spadek stopy bezrobocia i stopy inflacji. 

Przykład 1.

W lipcu przeprowadzono sondaż, w którym chęć głosowania na partię A wyraziło 15 % ankietowanych. Ile wynosiłoby poparcie dla tej partii, gdyby:

a) wzrosło o 5 punktów procentowych

b) wzrosło o 40 procent  

Rozwiązanie:

a) Poparcie wynosiło początkowo 15 punktów procentowych i wzrosło o 5 punktów procentowych (5 p.p.), zatem wynosi teraz 20 punktów procentowych (20% ankietowanych wybrało tę partię).

b) Gdyby poparcie wzrosło o 40 %, to wynosiłoby ono:

Poparcie dla tej partii byłoby równe 21 punktów procentowych (21 % procent ankietowanych wybrałoby tę partię).

Zadania:

1. W sondażu przeprowadzonym w lipcu poparcie dla partii A wynosiło 35% , a w sondażu przeprowadzonym w sierpniu 28 %. Z kolei poparcie dla partii B w lipcu wynosiło 32 % a w sierpniu 38%.

Wyraź w procentach i w punktach procentowych zmianę poparcia dla partii A oraz zmianę poparcia dla partii B.

2. Bank podwyższył oprocentowanie lokaty z 6% do 6,25%. 

a) Przedstaw zmianę oprocentowania lokaty w punktach procentowych i punktach bazowych.

b) Przedstaw zmianę oprocentowania lokaty w procentach.

Uwaga: 1 punkt bazowy = 1/100 punktu procentowego.

Odpowiedzi:

1. partia A: spadek o 20%; 7 p.p          partia B: wzrost o 18,75 %; 6 p.p

2a) wzrost o 25 punktów bazowych, czyli 0,25 p.p

2b) wzrost o około 4,17%.