Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Schemat Bernoulliego

Schemat Bernoulliego

Rozważamy doświadczenie losowe, które może skończyć się sukcesem lub porażką. Prawdopodobieństwo sukcesu oznaczamy literą p, a prawdopodobieństwo porażki literą q, gdzie q = 1 - p.  Pojedyncze doświadczenie spełniające te warunki nazywamy próbą Bernoulliego.

Przykład 1

  1. Próbą Bernoulliego jest rzut symetryczną monetą. Za sukces możemy uznać wypadnięcie orła, a za porażkę wypadnięcie reszki. Wtedy


     .
  2. Próba Bernoulliego może być rzut sześcienną kostką do gry. Za sukces możemy uznać wypadnięcie liczby oczek większej lub równej 5, a za porażkę liczbę oczek mniejszą niż 5. Wtedy


    . 

Definicja 1

Schematem Bernoulliego nazywamy ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia losowego, które może zakończyć się jednym z dwóch możliwych wyników zwanych sukcesem lub porażką. Prawdopodobieństwo sukcesu i prawdopodobieństwo porażki w każdym powtórzeniu jest stałe.

Oznaczenia 

Prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w schemacie n prób Bernoulliego dla będziemy oznaczać jako 

Twierdzenie 1

W schemacie n prób Bernoulliego prawdopodobieństwo otrzymania k sukcesów, gdzie wyraża się wzorem:

 

Przykład 2

Rzucamy 10 razy dwoma monetami. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia  - orła na obu monetach otrzymamy: 

  1. dokładnie 6 razy
  2. co najmniej raz
  3. co najwyżej trzy razy.

Nasze doświadczenie losowe jest schematem Bernoulliego o 10 próbach. W pojedynczej próbie Bernoulliego w tym doświadczeniu prawdopodobieństwo sukcesu – otrzymania orła na obu monetach,

 wynosi . Prawdopodobieństwo porażki z kolei to  ( Oznaczmy wypadnięcie orła jako O, a wypadnięcie reszki jako R. Przestrzeń  składa się z czterech zdarzeń

 elementarnych:  Sprzyjające jest tylko zdarzenie (O, O)).

  1. Oznaczmy zdarzenie A – w 10 próbach otrzymano dokładnie 6 sukcesów

 

  1. Oznaczmy zdarzenie B – w 10 próbach otrzymano co najmniej jeden sukces

W tym przypadku wygodnie jest posłużyć się prawdopodobieństwem przeciwnym. Zdarzenie przeciwne do B to B’ – w 10 próbach nie otrzymano żadnego sukcesu


 

  1. Oznaczmy zdarzenie C – w 10 próbach Bernoulliego otrzymamy sukces co najwyżej trzy razy.

Zdarzenie C można przedstawić w postaci sumy czterech parami wykluczających się zdarzeń 


 

gdzie   to zdarzenie – w 10 próbach Bernoulliego otrzymano dokładnie i sukcesów dla i = 0, 1, 2, 3.


  


Zadania 

  1. Rzucamy 20 razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo wypadnięcia liczby oczek będącej pierwszą: 
    1. 10 razy
    2. co najmniej jeden raz
  2. Z działa oddano 5 strzałów do celu. Prawdopodobieństwo trafienia w cel w każdym strzale jest równe 0,4. Aby cel został uznany za zniszczony, powinien zostać trafiony co najmniej trzy razy. Oblicz prawdopodobieństwo zniszczenia celu. 
  3. W urnie jest 6 kul białych i 10 czarnych. Z urny losujemy 3 kule, oglądamy je i z powrotem wrzucamy do urny. Doświadczenie to powtarzamy 8 razy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
    1. 5 razy wylosowano co najmniej jedną kulę biała,
    2. co najmniej raz wylosowano co najmniej jedną kulę białą,
    3. co najwyżej raz wylosowano co najmniej jedną kulę białą. 

Odpowiedzi do zadań 


Zadzwoń teraz Dotknij, aby się ze mną skontaktować.