Twierdzenie 1
Pole P koła o promieniu r wyraża się wzorem  .

Zastanówmy się jak obliczyć pole wycinka koła, znając wzór na pole koła. Zacznijmy jednak od zdefiniowania sobie co to jest. Wycinkiem koła nazywamy część wspólną koła i kąta środkowego. Jego pole jest wprost proporcjonalne do miary odpowiadającego mu kąta środkowego.
   , skąd , czyli

Gdybyśmy chcieli obliczyć długość łuku d, który odpowiada kątowi środkowemu α, to postąpimy podobnie, ponieważ ta długość jest również proporcjonalna do miary kąta środkowego. Otrzymujemy zatem:

Przykład 1

Oblicz pole zacieniowanej figury.

Obliczmy najpierw pole całej figury.

Następnie obliczmy pole trójkąta równobocznego:

A na koniec odejmiemy pole trójkąta od pola wycinka.

 .

Odp. Pole zacieniowanej figury jest równe  .

Zadania do zrobienia

1. Pole wycinka koła jest równe , a łuk tego wycinka ma długość  Oblicz promień koła, jeśli

Odp.

 2. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Oblicz stosunek pola koła wpisanego w ten trójkąt do pola koła opisanego na tym trójkącie

Odp.  

3. Promień koła jest równy . Kąt wycinka tego koła ma miarę . Oblicz pole wycinka, jeżeli ,  =

Odp.