W przyrodzie występuje ponad 2000 różnych izotopów pierwiastków, z których zaledwie tylko część około 200 jest stabilna – oznacza to, że ich jądra są trwałe i nie ulegają rozpadowi. Większość jąder atomowych jest jednak nietrwała – ulega spontanicznemu rozpadowi, co nazywamy rozpadem promieniotwórczym. Jądra ulegające takim rozpadom nazywamy z kolei jądrami bądź izotopami promieniotwórczymi lub inaczej radioizotopami. To jakim rodzajom rozpadu mogę podlegać te jądra omówimy w kolejnym rozdziale (17.4). W ogólności promieniotwórczością jądrową nazywamy spontaniczną emisję promieniowania z jądra atomowego następująca wskutek jego rozpadu.

Prawo rozpadu promieniotwórczego

Okazuje się, że szybkość rozpadu jąder pewnego izotopu (czyli liczba tych rozpadów w jednostce czasu) jest wprost proporcjonalna do liczby jąder tego izotopu , które nie uległy jeszcze rozpadowi. Zależność tę można zapisać w postaci następującego równania różniczkowego:

Gdzie wyrażenie  to pochodna liczby jąder izotopu po czasie, w uproszczeniu można powiedzieć,

że jest to nic innego jak wyrażenie  dla  dążącego do zera.  to z kolei tzw. stała rozpadu promieniotwórczego, wielkość, która określa właśnie to jak szybko rozpadom ulegają jądra danego izotopu (jej wartość zależy od tego z jakim izotopem mamy do czynienia).

Powyższe równanie różniczkowe można rozwiązać, uzyskując wynik w postaci zależności liczby jąder , które nie uległy jeszcze rozpadowi, od czasu . Zależność ta znana jest jako prawo rozpadu promieniotwórczego:

Gdzie  to początkowa liczba jąder danego izotopu (czyli liczba jąder w chwili ), a  to podstawa logarytmu naturalnego (tzw. liczba Eulera), równa około .

Okres połowicznego rozpadu (inaczej: czas połowicznego rozpadu, czas połowicznego zaniku, okres półtrwania itp.) jest to czas, po upływie którego połowa pierwotnej liczby jąder danego izotopu ulegnie rozpadowi. Jego wartość (podobnie jak wartość stałej rozpadu) zależy od tego z jakim izotopem promieniotwórczym mamy do czynienia.

Wykorzystując powyższą definicję okresu połowicznego rozpadu (najczęściej oznaczanego symbolem  lub ), możemy zapisać prawo rozpadu promieniotwórczego w alternatywny sposób:

Ponieważ obie wersje prawa rozpadu promieniotwórczego są sobie tożsame, to możemy przyrównać do siebie prawe strony obu tych równań:

Logarytmując obustronnie powyższe równanie (logarytmem o podstawie ) i dokonując kilku prostych przekształceń, możemy dojść do następującej zależności pomiędzy stałą rozpadu a okresem połowicznego rozpadu:

A zatem znając stałą rozpadu dla danego izotopu promieniotwórczego, możemy obliczyć jego czas połowicznego zaniku i na odwrót. Czasy połowicznego zaniku dla różnych izotopów mogą przyjmować bardzo różne wartości – od nanosekund po miliardy lat.

Każdy izotop promieniotwórczy charakteryzuje się określoną aktywnością promieniotwórczą . Jest to wielkość fizyczna mówiąca o tym jak szybko następuje rozpad jąder danego izotopu w danej chwili w czasie (czyli ile jąder tego izotopu ulega rozpadowi w jednostce czasu). Definiujemy ją zatem jako:

Gdzie  to początkowa aktywność promieniotwórcza danego izotopu, czyli jego aktywność w chwili .

Wykorzystując drugą postać prawa rozpadu promieniotwórczego, możemy oczywiście wzór na aktywność zapisać także inaczej:

Jednostką aktywności promieniotwórczej jest bekerel (). . A zatem w próbce izotopu o aktywności równej  średnio w ciągu jednej sekundy rozpadowi ulega jedno jądro.

Analizują powyższe zależności możemy stwierdzić, że zależności zarówno liczby jąder danego izotopu promieniotwórczego, jak i aktywności danego izotopu od czasu są identyczne. Można łatwo pokazać, że tak samo w funkcji czasu zmienia się masa danego izotopu (czyli masę  danego izotopu po upływie czasu  możemy zapisać jako  lub , gdzie  to początkowa masa danego izotopu).

Na Rys. 1. graficznie zaprezentowano prawo rozpadu promieniotwórczego dla pewnego izotopu o czasie połowicznego rozpadu , którego początkowa liczba jąder wynosiła . Jest to zatem zależność liczby jąder  tego izotopu od czasu  (wykres o analogicznym charakterze otrzymalibyśmy gdyby na osi pionowej widniała aktywność lub masa tego izotopu).

Rys. 1.

Datowanie izotopowe

Datowanie izotopowe jest techniką pozwalająca na określanie wieku różnego rodzaju materiałów (skały, znaleziska archeologiczne itd.) z wykorzystaniem prawa rozpadu promieniotwórczego, któremu podlegają naturalnie występujące w przyrodzie izotopy promieniotwórcze.

Jedną z najczęściej stosowanych odmian datowania izotopowego jest datowanie radiowęglowe, w którym wykorzystuje się pomiar zawartości izotopu węgla C-14 () w badanych próbkach. Węgiel C-14 ma podobne właściwości chemiczne do stabilnego izotopu tego pierwiastka C-12 i zawarty jest wobec tego w każdym żywym organizmie. W momencie śmierci takiego organizmu, jego wymiana dwutlenku węgla z otoczeniem ustaje, toteż izotop C-14 nie jest już w dalszym ciągu dostarczany do owego organizmu i jego zawartość w nim maleje w czasie zgodnie z prawem rozpadu promieniotwórczego. Wiedząc jaka powinna jest zawartość izotopu C-14 w żywych tkankach oraz badając jego zawartość w analizowanym materiale, możemy określić, wykorzystując wspomniane prawo rozpadu promieniotwórczego, kiedy nastąpiła śmierć danego organizmu, a zatem jednocześnie wyznaczyć jego wiek. Ponieważ czas połowicznego zaniku izotopu węgla C-14 wynosi ok. 5730 lat, to datowanie radiowęglowe nadaje się do datowania próbek o wieku do kilkudziesięciu tysięcy lat (w przypadku starszych próbek zawartość C-14 jest już w nich zbyt niska, by była mierzalna z akceptowalną dokładnością).

Przykład:

Czas połowicznego rozpadu izotopu cezu  wynosi . W pewnej próbce gleby z okolic Czarnobyla określono jego aktywność (w chwili ) na . Oblicz aktywność tej próbki po upływie czasu . Oblicz po jakim czasie aktywność tej próbki spadnie do wartości równej .

Rozwiązanie:

Zapiszmy prawo rozpadu promieniotwórczego dla aktywności próbki gleby zawierającej izotop cezu:

Obliczmy aktywność próbki po upływie 100 lat:

Aby wyznaczyć czas po jakim aktywność próbki spadnie do wartości równej  należy w pierwszej kolejności wyznaczyć wzór na czas :

Wstawiamy dane do wyprowadzonego wzoru i obliczamy czas :

Zadania do zrobienia:

1. Okres połowicznego rozpadu jodu  jest równy 8,02 dni. Oblicz stałą rozpadu tego izotopu. Oblicz masę tego izotopu po upływie 20 dni, jeśli początkowa masa tego izotopu wynosiła 1 g.

Odp.: ,

2. Próbka, którą badamy zawiera 0,02 g izotopu molibdenu . Czas połowicznego rozpadu tego izotopu wynosi . Oblicz masę tego izotopu w tej próbce przed 150 godzinami.

Odp.:

3. Pewne biologiczne znalezisko archeologiczne zawiera 16% izotopu węgla C-14 w porównaniu do jego zawartości w nim, gdy owo znalezisko było jeszcze żywym organizmem. Wiedząc, że czas połowicznego zaniku izotopu węgla C-14 wynosi 5730 lat, oszacuj wiek znaleziska.

Odp.:

Jeśli jesteś zainteresowany/a dodatkowymi materiałami dotyczącymi tego zagadnienia, to pod poniższym linkiem znajdziesz płatne (60 zł) dwugodzinne nagranie z omówieniem teorii i rozwiązaniami zadań maturalnych w tej tematyce:

https://szkolamaturzystow.pl/kurs/kurs-maturalny-fizyka-fizyka-jadrowa