Szczegółowe wymagania maturalne z matematyki na maturze 2025,2026 itd.

Łukasz Jarosiński

Zobacz co będzie wymagane na egzaminie maturalnym w 2025 roku i sprawdź jakie tematy doszły do wymagań maturalnych

Wielu uczniów szkół średnich poświęca naprawdę sporo czasu, żeby przygotować się odpowiednio do egzaminu maturalnego, kiedy nadejdzie już właściwa pora. Żeby jednak zrobić to rzetelnie, należałoby zacząć od zgłębienia wiedzy, jakie w ogóle zagadnienia będą obowiązywały na maturze. Wymagania maturalne różnią się bowiem na przestrzeni lat, warto zatem szanować swój jakże cenny czas i przygotować się jak najlepiej z zagadnień, które możemy spotkać na egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym czy też rozszerzonym.

Poniżej znajdziesz spis wymagań szczegółowych obowiązujących od matury w formule 2025. Kolorem żółtym zaznaczone zostały zagadnienie, które w formule 2023 i 2024 wymagane były na poziomie rozszerzonym, a zostały przeniesione do poziomu podstawowego. Kolorem zielonym natomiast zagadnienia całkowicie nowe, których nie znajdziemy w wymaganiach z matur 2023 i 2024.

Wymagania szczegółowe CKE z zakresu podstawowego

I. Liczby rzeczywiste.

Uczeń:

1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;

2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż:

a) dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych,

b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2;

3) stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;

4) stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;

5) stosuje własności monotoniczności potęgowania,

6) posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;

7) stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania i nierówności;

8) wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów;

9) stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

II. Wyrażenia algebraiczne.

Uczeń:

1) stosuje wzory skróconego mnożenia;

2) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;

3) wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;

4) rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów;

5) znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych;

6) dzieli wielomian jednej zmiennej W(x) przez dwumian postaci x - a;

7) mnoży i dzieli wyrażenia wymierne;

8) dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne;

III. Równania i nierówności.

Uczeń:

1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;

2) interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;

3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;

4) rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;

5) rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;

6) rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;

7) rozwiązuje równania wymierne postaci V(x)/W(x) = 0, gdzie wielomiany V(x) i W(x) są zapisane w postaci iloczynowej.

IV. Układy równań.

Uczeń:

1) rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;

2) stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych;

3) rozwiązuje metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe;

V. Funkcje

Uczeń:

1) określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);

2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;

3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;

4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;

5) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;

6) wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach;

7) szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;

8) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);

9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;

10) wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;

11) wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;

12) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x-a),

y = f(x) + b, y = - f(x), y = f (-x) ;

13) posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych;

14) posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

VI. Ciągi.

Uczeń:

1) oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;

2) oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie;

3) w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;

4) sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;

5) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;

6) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;

7) wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

VII. Trygonometria.

Uczeń:

1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180° , w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°;

2) znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora;

3) znajduje za pomocą tablic lub kalkulatora przybliżoną wartość kąta, jeśli dana jest wartość funkcji trygonometrycznej;

4) korzysta z wzorów na jedynkę trygonometryczną oraz tg;

5) stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta z wykorzystaniem sinusa

6) oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty).

VIII. Planimetria.

Uczeń:

1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;

2) rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;

3) rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;

4) korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;

5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;

6) stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;

7) stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;

8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów;

9) wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;

10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;

11)stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;

12) przeprowadza dowody geometryczne.

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Uczeń:

1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;

2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu);

3) oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;

4) posługuje się równaniem okręgu ;

5) oblicza odległość punktu od prostej;

6) znajduje punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej;

7) wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

X. Stereometria.

Uczeń:

1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;

2) posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;

3) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;

4) rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;

5) określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;

6) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;

7) wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

XI. Kombinatoryka.

Uczeń:

1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;

2) zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż:

a) obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2,

b) obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.

Uczeń:

1) oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;

2) stosuje skalę centylową;

3) oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę;

4) oblicza odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje ten parametr dla danych empirycznych;

5) oblicza wartość oczekiwaną, np. przy ustalaniu wysokości wygranej w prostych grach losowych i loteriach.

XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Uczeń rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Wymagania szczegółowe CKE z zakresu rozszerzonego

W przypadku zakresu rozszerzonego uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego oraz ponadto:

I. Liczby rzeczywiste

1) stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu;

II. Wyrażenia algebraiczne

1) znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych;

2) stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona);

3) korzysta ze wzorów na sumę dwóch wyrazów podniesionych do potęgi trzeciej, na sumę bądź różnicę dwóch wyrazów podniesioną do n-tej potęgi;

III. Równania i nierówności

1) rozwiązuje nierówności wielomianowe dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;

2) rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż

3) stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;

4) rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną;

5) analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów.

IV. Układy równań

1) rozwiązuje układy równań kwadratowych postaci

V. Funkcje

1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) rysuje wykres funkcji y = If(x)I;

2) posługuje się złożeniami funkcji;

3) dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem;

VI. Ciągi

1) oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu oraz twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o trzech ciągach;

2) rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

VII. Trygonometria

1) stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie;

2) posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens;

3) wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych;

4) stosuje wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych;

5) korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych;

6) rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne;

VIII. Planimetria

1) stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

1) stosuje równanie okręgu w postaci ogólnej;

2) znajduje punkty wspólne dwóch okręgów;

3) zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie.

X. Stereometria

1) zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych;

2) wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.

XI. Kombinatoryka

1) oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów;

2) stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.

XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

1) oblicza prawdopodobieństwo warunkowe i stosuje wzór Bayesa, stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym;

2) stosuje schemat Bernoulliego.

XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy

1) oblicza granice funkcji (w tym jednostronne);

2) stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji i znajdowania przybliżonej wartości miejsca zerowego;

3) stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej;

4) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej;

5) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;

6) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

Opis arkuszy egzaminacyjnych

1) Poziom podstawowy

Na napisanie egzaminu maturalnego na poziomie podstawowym przewidziane jest 180 minut. Arkusz będzie się składać z od 29 do 40 zadań, natomiast całkowita możliwa do zdobycia liczba punktów będzie wynosić 50 punktów.

RODZAJ ZADAŃ	LICZBA ZADAŃ	LICZBA PUNKTÓW	UDZIAŁ W WYNIKU SUMARYCZNYM
Zamknięte	20-25	25	50%
Otwarte	9-15	25	50%
RAZEM	29-40	50	100%

W arkuszu będzie znaleźć można zadania pojedyncze albo powiązane tematem, przy czym każde z zadań powiązanych będzie się dało rozwiązać niezależnie od wyniku z zadania poprzedniego.

2) Poziom rozszerzony

Czas przewidziany na napisanie matury z matematyki na poziomie rozszerzonym wynosić będzie również 180 minut. Łącznie będzie można w nim znaleźć od 10 do 14 zadań otwartych. W tym arkuszu także będą zadania pojedyncze lub powiązane o wspólnym kontekście tematycznym.

Przykładowe zadania

W informatorach maturalnych znaleźć można informację, iż zarówno dla egzaminu z 2023, jak i 2024 roku, usunięto część zadań przewidzianych w podstawie programowej. Natomiast znaleźć je już będzie można na egzaminie dojrzałości w roku 2025 czy 2026, a to kilka przykładów:

1) Poziom podstawowy

2) Poziom rozszerzony